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Ainda o Nobel: sobre a Matemática

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Aproveitando o prêmio Nobel, o EconLog trouxe uma passagem do artigo de Galey e Shapley, sobre a matemática, que vale ser citada integralmente:

Finally, we call attention to one additional aspect of the preceding analysis which may be of interest to teachers of mathematics. This is the fact that our result provides a handy counterexample to some of the stereotypes which non-mathematicians believe mathematics to be concerned with.

Most mathematicians at one time or another have probably found themselves in the position of trying to refute the notion that they are people with “a head for figures.” or that they “know a lot of formulas.” At such times it may be convenient to have an illustration at hand to show that mathematics need not be concerned with figures, either numerical or geometrical. For this purpose we recommend the statement and proof of our Theorem 1. The argument is carried out not in mathematical symbols but in ordinary English; there are no obscure or technical terms. Knowledge of calculus is not presupposed. In fact, one hardly needs to know how to count. Yet any mathematician will immediately recognize the argument as mathematical, while people without mathematical training will probably find difficulty in following the argument, though not because of unfamiliarity with the subject matter.

What, then, to raise the old question once more, is mathematics? The answer, it appears, is that any argument which is carried out with sufficient precision is mathematical, and the reason that your friends and ours cannot understand mathematics is not because they have no head for figures, but because they are unable [or unwilling, DRH] to achieve the degree of concentration required to follow a moderately involved sequence of inferences. This observation will hardly be news to those engaged in the teaching of mathematics, but it may not be so readily accepted by people outside of the profession. For them the foregoing may serve as a useful illustration.

O Noah Smith também aproveita o tema para desenvolver um pouco sobre a matemática e a economia.

Bandido bom é bandido morto? Ou mais ainda sobre modelos.

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Evidentemente que o debate acerca de penas capitais envolve muitos fatores, entre eles morais, religiosos e ideológicos. Entretanto, impossível negar que, para este debate, um argumento bastante persuasivo é saber se, de fato, a adoção da pena de morte reduz a criminalidade. E, mais ainda, se reduz, de quanto seria esta redução.

No fundo, isto é uma questão empírica. Pois, teoricamente, o efeito pode ser tanto positivo quanto negativo, tanto alto quanto baixo. Se a adoção de penas capitais, por um lado, inibe o criminoso por aumentar a severidade da pena, por outro lado, aqueles criminosos que forem cometer um crime de qualquer jeito terão mais incentivos para a brutalidade – afinal, se ele já irá pegar a pena máxima, então por que não matar todas as testemunhas?

Então basta estimar o efeito de penas capitais e o problema está resolvido, certo? Durlauf, Fu e Navarro (2012) mostram que não. Apesar de isto ser um problema empírico, é preciso determinar qual o modelo utilizado para as estimativas. Tomando o caso dos EUA,  que tal um modelo linear com um único coeficiente de probabilidade de execução para cada estado? Se acharmos isto adequado, ele nos fornecerá uma estimativa positiva, indicando que cada execução poupa de 20 a 31,5 vidas, em média. Números bastante persuasivos.

Mas se, ainda no modelo linear, permitirmos que o coeficiente varie por estado? Bom, aí passamos para estimativas de que uma execução adicional eleva o número de vítimas de 35,2 a 98,5 , em média.  Também tem outro ponto: o modelo linear agrega comportamentos individuais de uma maneira bastante restritiva. E se utilizássemos um modelo Logit?  Novamente a estimativa passa a ser negativa, indicando que cada execução eleva o número de vítimas de 2 a 42. A figura que ilustra os dados a que faço referência encontra-se abaixo.

Diante de tais resultados, alguém poderia se tornar bastante cético quanto à nossa capacidade de medir o efeito. Eu sugiro uma interpretação mais otimista. Os autores identificaram pelo menos duas grandes fontes de incerteza e, agora, será preciso dispensar muito mais atenção na escolha e na justificativa da forma funcional do modelo. Porque muito melhor do que a proliferação assistemática de resultados frágeis e conflitantes – que muitas vezes tornam-se disputas pessoais  - é, pelo menos, saber por que eles divergem.

Mais sobre modelos – Jerzy Neyman

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Mais sobre modelos.

Já havíamos colocado aqui Thaddeus Tarpey discutindo que todos os modelos estão certos, e a maioria é inútil.

Também Ed. Leamer tratando do problema de quem interpreta modelos literalmente, como realidade.

Segue agora uma definição de modelo muito engraçada e simples, por Jerzy Neyman:

Um modelo é um conjunto de suposições inventadas sobre entidades inventadas tais que, se alguém trata essas entidades inventadas como representações de elementos adequados dos fenômenos estudados, as consequências das hipóteses que constituem o modelo deverão estar de acordo com as observações. Se, em todos os ensaios relevantes, o grau de conformidade nos parece satisfatório, então se considera o modelo adequado.

A fórmula que matou Wall Street

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Artigo interessante sobre a gaussian copula function de David Li.

Vale frisar duas partes do final. Primeiro, sobre os gerentes que utilizavam a fórmula:

Their managers, who made the actual calls, lacked the math skills to understand what the models were doing or how they worked. They could, however, understand something as simple as a single correlation number. That was the problem.

E, segundo, Li sobre o seu próprio modelo:

The most dangerous part is when people believe everything coming out of it.

Por ser voltado ao público geral, não sei até que ponto o texto é anedótico. Mas, ilustra bem uma verdade: não é para você pegar um modelo e aplicá-lo a toda e qualquer situação. Ainda mais quando se trata de normalidade e constantes no mundo financeiro.

PS: um leitor recomendou o vídeo “Quants – Os alquimistas de Wall Street”, visto no blog do PC.

Qual é o problema com modelos? Nenhum, o problema é com quem os interpreta…

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… como realidade e não como metáforas.

Como diz Edward Leamer: “It is difficult to train a computer to understand a metaphor, and it is likewise difficult to train our students to understand the metaphors of economics, our models. Our students do what anyone unfamiliar with a language does: they take the models literally.” Mas não deviam.

Então, se algum economista te mostrar um modelo de concorrência perfeita, não é para você pensar que os economistas acreditam, nem tampouco para você acreditar que os preços são dados, que para existir concorrência teria de haver milhares de empresas sem poder de mercado, que não existe atividade empresarial fundamentada no erro e na descoberta… interpretar um modelo de concorrência perfeita dessa forma, usando uma analogia de Leamer, é a mesma coisa de olhar um mapa em que a avenida é desenhada na cor vermelha e achar que a avenida é de fato vermelha. Corolário disto: não é para você pegar um modelo e aplicá-lo a toda e qualquer situação – o trabalho do economista é justamente identificar o momento apropriado de utilizá-lo.

Todos os modelos estão certos, a maioria é inútil

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Palestra do Thaddeus Tarpey discutindo, de maneira simples, modelos e a realidade. O título é uma brincadeira com a conhecida frase do Box “Todos os modelos estão errados, alguns são úteis”.

Via Andrew Gelman.